製紙機械ヘッダー部の形状最適化:数値解析による検討

非線形最適化問題の解決と実用化

Jan Stebel
2007年7月16日

1. モデルの説明

我々は、紙製造機ヘッダーの後壁の最適な形状を見つけることに興味があります(図1)。ヘッダーは紙製造機のヘッドボックスの最初のコンポーネントであり、その機能は流体(水と木材繊維)を機械の幅全体に均等に供給し、高品質の紙を生産することです。最小化すべきコスト関数は以下の通りです:

\[ J(\alpha, v(\alpha), p(\alpha)) := \int_{\Gamma_{out}} |v_2(\alpha) - v_{opt}|^2 \]

ここで: - \(\alpha\):後壁の形状を記述する関数 - \(v(\alpha), p(\alpha)\):混合物の速度と圧力 - \(v_{opt}\):出口 \(\Gamma_{out}\) での目標速度

ヘッダーのドメイン \(\Omega(\alpha)\) は以下のように記述されます:

\[ \Omega(\alpha) = \{ x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2; 0 < x_1 < L, 0 < x_2 < \alpha(x_1) \} \]

図1:ヘッダー \(\Omega(\alpha)\) の形状

ヘッダーの形状

\[ \begin{aligned} L_1 & L_2 & L_3 \\ H_1 & H_2 & \alpha(x_1) \end{aligned} \]

\(\Omega(\alpha)\) が許容可能であるとは、\(\alpha \in U_{ad}\) であることを意味し、ここで:

\[ U_{ad} = \{ \alpha \in C^{0,1}([0, L]); \alpha_{min} \leq \alpha \leq \alpha_{max}, \alpha|[0, L_1] = H_1, \alpha|[L_1+L_2, L] = H_2, |\alpha'| \leq \gamma \text{ a.e. in } [0, L] \} \]

ここで、\(L := L_1 + L_2 + L_3\) です。

混合物の動きは、一般化されたナビエ・ストークス系を用いてモデル化されます:

\[ \begin{aligned} - \text{div} T(p, D(v)) + \rho \, \text{div}(v \otimes v) &= 0 \\ \text{div} \, v &= 0 \end{aligned} \quad \text{in} \, \Omega(\alpha) \]

ここで: - \(v := v(\alpha)\):速度 - \(p := p(\alpha)\):圧力 - \(\rho\):流体密度 - \(T\):応力テンソル

応力テンソル \(T\) は以下のように定義されます:

\[ T(p, D(v)) = -pI + 2\mu(|D(v)|)D(v) \]

ここで: - \(\mu(|D(v)|) := \mu_0 + \mu_t(|D(v)|) = \mu_0 + \rho l_{m,\alpha} |D(v)|\) - \(\mu_0 > 0\):定数層流粘度 - \(\mu_t\):乱流粘度

関数 \(l_{m,\alpha}\) は代数的乱流モデルにおける混合長を表します:

\[ l_{m,\alpha}(x) = \frac{1}{2} \alpha(x_1) \left( 0.14 - 0.08 \left( 1 - \frac{2d_\alpha(x)}{\alpha(x_1)} \right)^2 - 0.06 \left( 1 - \frac{2d_\alpha(x)}{\alpha(x_1)} \right)^4 \right) \]

ここで \(d_\alpha(x) = \min \{x_2, \alpha(x_1) - x_2\}\) です。

境界条件:

\[ \begin{aligned} v &= 0 \quad \text{on} \, \Gamma_f \cup \Gamma_\alpha \\ v &= v_D \quad \text{on} \, \Gamma_D \\ v \cdot \tau &= v_1 = 0 \quad \text{on} \, \Gamma_{out} \\ T_{22} := T\nu \cdot \nu &= -\sigma|v_2|v_2 \quad \text{on} \, \Gamma_{out} \end{aligned} \]

ここで: - \(\nu\):単位法線ベクトル - \(\tau\)\(\Gamma_{out}\) への接線ベクトル - \(\sigma > 0\):吸引係数

条件 \(T_{22}\) は複雑な形状の均質化から来ています。

2. 近似とテスト結果

状態問題は、三角形メッシュ上の有限要素法を用いて離散化されます。\(J\)\(\alpha\) に関する勾配を計算するために、随伴方程式技法が適用されます。必要なすべての偏導関数は自動微分によって提供されます。

関数 \(\alpha\) はベジエ関数 \(\alpha_M\) によって近似されます。許容性は単純な境界条件によって強制されます。

これにより、非線形の境界制約付きプログラミング問題となります。NAG Cライブラリのルーチン e04wdc がこれを解くために使用されました。

使用されたパラメータ: - \(L_1 = 1.0\) - \(L_2 = 8.0\) - \(L_3 = 0.5\) - \(H_1 = 1.0\) - \(H_2 = 0.1\) - \(\alpha_{min} = H_2\) - \(\alpha_{max} = H_1\) - \(\mu_0 = 10^{-3}\) - \(\rho = 10^3\) - \(\sigma = 10^3\) - 入口速度:\(v_D|_{0} \times (0, H_1) = (4(1 - (2x_2/H_1 - 1)^8), 0)\) - 目標速度:\(v_{opt} = -0.433\)

最適化は線形的に先細りの形状から開始しました。初期形状と最適形状を図2に示します。

図2:初期形状と最適形状

初期形状と最適形状

NAGルーチンは73回の反復後に、最適性誤差が \(10^{-6}\) より小さい解を見つけました。

図3:初期および最適速度プロファイル

初期および最適速度プロファイル

3. 結論

NAG最適化ルーチンは問題の要件を成功裏に満たしました。

参考文献

[1] P. E. Gill, W. Murray, and M. A. Saunders. SNOPT: An SQP Algorithm for Large-scale Constrained Optimization. SIAM J. Optim., 12:979-1006, 2002.

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